Гибридное решение задачи о коробках
Вторая сторона проблемы повернута, как это ни покажется странным, из области науки в область искусства и даже религии.
Есть люди, способные настроиться на определенный лад, вспоминая любимые стихи, напевая приятную мелодию, мысленно представляя себе живописный пейзаж[58]. А есть счастливчики, расширяющие во время такой душевной медитации список изящного. Они, например, отслеживают про себя побайтный обмен данных на шине компьютера, составляют в голове программу для него или доказывают математическую теорему: Как мысли черные к тебе придут, откупори шампанского бутылку иль пере... реши задачу Коши. Ответ же ищется и численно, и аналитически, и... интуитивно. Присниться может не только таблица химических элементов (и не только Менделееву), но и... неведомое семейство кривых или небывалая структура данных.
По мнению таких «чудаков» (а на них держится настоящая математика), взятие интеграла на ЭВМ равносильно... сочинению стихов на компьютере. И в плане кощунственности самой мысли, и в плане практической, а тем более общеобразовательной (эстетической) пользы. Мы недаром подчеркнули триединство процесса решения задачи. Численные и даже аналитические методы можно отдать на откуп машине. Но интуицию...
[1] Тут правильнее говорить о компьютерной математике аналитических преобразований, но у нас уже прижилась калька с английского термина Symbolic Mathematic ¾ символьная математика.
[2] В пятой версии Mathcad порядок производной не мог быть переменной величиной. В шестом Mathcad’е этот недостаток был исправлен.
[3] Приставка Pro (professional) в названии пакета свидетельствует о том, что в него включены и средства символьной математики.
[4] Это деление не совсем логично: Во-первых, есть еще команды символьных преобразований, требующие указания переменной, к которым они относятся, ¾ преобразование Лапласа, например. Во-вторых, команды Expand (разложить по степеням) и Factor (представить в виде произведения) в их операторных аналогах (см. раздел 7.2) также могут требовать указания переменной, относительно которой данное действие производится.
[5] О том, что проще — x2
или x×x, можно еще спорить.
[6] У нас еще говорят «с плавающей десятичной запятой», учитывая тот факт, что на бумаге мы по-прежнему отделяем целую часть от дробной запятой, а не точкой. Из-за этого возможны конфликты при передаче данных из среды Mathcad в среду Excel (см. приложение 9), где нередко при настройке в качестве разделителя в вещественном числе выбирается запятая, а не точка.
[7] Вот полный список таких функций и констант: arcsec, arccsc, arccot, arcsech, arcscsh, arccoth, g, Catalan's constant, Chi(x), Ci(x), csgn(x), dilog(x), Dirac(x), Ei(x), erf(z), FresnelC(x), FresnelS(x), GAMMA(z), hypergeom(n1, n2..., d1, d2..., z), LegendreE(x,k), LegendreEc(k), LegendreEc1(k), LegendreF(x,k), LegendreKc(k), LegendreKc1(k), LegendrePi(x,n,k), LegendrePic(n,k), LegendrePic1(n,k), Psi(n,x), Psi(x), Shi(x), Si(x), signum(x), W(x), W(n,x) и Zeta(s). Если читатель с ними столкнется, работая в среде Mathcad, то ему нужно будет обратиться к help’у.
[8] В шестой и седьмой версиях Mathcad при включении в работу символьного процессора вместо привычного курсора мыши (стрелка) появляется докторская четырехуголка. В четвертой и пятой версиях курсор превращался в кленовый лист: maple по-английски «клен» - фирма Waterloo Maple находится в Канаде.
[9] В сети Internet по адресу ftp.wustl.edu/doc/misc/pi можно найти число ? с 1 500 000 знаками.
[10] Напоминаем, что в среде Mathcad 8 Pro недопустимы буквы кириллицы в именах переменных при символьных преобразованиях.
[11] Не к ночи будет упомянут, хотя «крестная мама» диамата — классическая философия Гегеля вдохновила автора на работу над книгой под условным названием «Философия программирования».
[12] В восьмой версии Mathcad невязка уже не показывается, так как от нее мало было толку
[13] Это не команда, а переключатель режимов символьных преобразований.
[14] Ее не любят только две категории людей: ущербные люди, которые никого и ничего любить не могут, и люди, с математикой незнакомые. Но любовь автора к математике, увы, не совсем взаимна. Автор в свое время не получил должного математического образования. Отсюда некоторые, мягко говоря, «нестыковки», которые настоящий математик обязательно увидит в книге. Пример: взятие производной и дифференцирование — это далеко не одно и то же.
[15] ОТЦ — имеются в виду электрические, а не пролетарские цепи. У дисциплины « Основы теории пролетарских цепей» другое название — «Политэкономия капитализма». У нас в МЭИ ОТЦ блестяще читал профессор Карл Круг, о котором рассказывали такую страшилку. Сдает студент экзамен по ОТЦ, а Круг его прерывает и говорит: «Да вы, батенька, не знаете закона Ома. Что у вас по физике?» Круг перелистывал страницы зачетки, видел тройку по физике, зачеркивал ее и говорил обалдевшему студенту: «Сначала выучите и сдайте физику, а уж потом приступайте к моей дисциплине».
[16] Случай, когда без команд символьных преобразований не обойтись, ниже на рис. 7.10.
[17] В настоящее время компьютерными символьными преобразованиями проверяются выкладки великих математиков. Ни одной ошибки не нашли пока только у «короля» математиков — Гаусса (см. раздел 7.3). Компьютерной математикой стоит контролировать свои собственные аналитические выкладки.
[18] Новое — это хорошо забытое старое: см. рис.1.4 в этюде 1.
[19] Константа интегрирования, как мы уже отметили ранее, опускается (полагается равной нулю).
[20] В среде Mathcad PLUS 6.0, который у нас до сих пор очень популярен по двум причинам — наличие русифицированной версии и возможность работы под управлением Windows 3.1 на не очень мощных компьютерах («тройки» и «четверки»), направление символьных преобразований оператором g ® задавалось семью ключевыми словами: (factor, expand, series, simplify, complex, float и assume), которые писались до данного оператора. Это было очень неудобно. Во-первых, в ключевом слове можно было сделать ошибку — написать, например, вместо слова Simplify слово Simplifi. В этой ситуации пакет Mathcad ошибку не фиксирует, но и выражение не упрощает.
[21] Команда Simplify меню Symbolic богаче своего тезки-оператора: командой Simplify можно упростить только часть выражения, отмеченную курсором (см. выше).
[22] Единица не входит в множество «простые числа».
[23] Подпись (электронная или обычная) — это гарантия того, что письмо послано именно тем, чей обратный адрес стоит на конверте. Более того, если нужно будет доказать третьей стороне (судье, например) подлинность сообщения, то это можно сделать так, что ни корреспондент, ни адресат не будут это оспаривать.
[24] Такая идиома встречается во многих книгах. При этом как-то упускается из виду, что через пять-десять лет может быть создан компьютер (транспьютер!), который с данной задачей справится уже за приемлемое время. Для такой работы можно объединить разные компьютеры в сеть. Кроме того, «миллион лет» – это не число, а элемент нечеткого множества «очень долго».
[25] Рекорд (самое большое простое число Мерсенна) на 1 июня 1999 – 26772593-1.
[26] Суперкомпьютер, конечно, по меркам 1982 года.
[27] Большая теорема Ферма утверждает, что an+bn=cn только при n2 (32+42=52).
[28] Это делают, конечно, не в среде Mathcad, а с помощью специальных программ, способных возводить в огромную степень огромные числа. Кстати говоря, функция Ferma с выбранными на рис. 7.11 аргументами работает в среде Mathcad 7, но не работает в среде Mathcad 8. Это к нашему тезису о «капризной бабе» под названием символьная математика.
[29] Мартин Гарднер долгое время редактировал рубрику «Занимательная математика» в этом журнале, материалы которой легли в основу его знаменитых книг.
[30] Числа перемножены не оператором n1×n2=, а командой Вычислить символьной математики.
[31] Название приза зашифровано способом, который использовал еще Юлий Цезарь.
[32] В продаже есть и калькуляторы с символьным процессором (например TI-97).
[33] Если n не указано, то возвращается 20 знаков по умолчанию.
[34] Третье отличие команд символьных преобразований от аналогичных операторов: команда float может вывести до 4000 знаков, оператор — до 250.
[35] В шестой версии Mathcad в ходу был термин «SmartMath» — сообразительная математика.
[36] Символ интеграла — это растянутая буква s, первая в слове summa.
[37] Напоминаем, что в среде Mathcad 8 возможен выбор способа численного интегрирования.
[38] У выражения может быть три режима: а) выражение может быть подсвечено (цвет фона отличается от основного — таким образом можно на данное выражение обратить внимание пользователя); б) выражение может быть выключено из расчетов (стать простым комментарием) и в) выражение может быть оптимизировано.
[39] В шестой версии Mathcad командой на локальную оптимизацию служило ключевое слово optimize, поставленное перед выражением. Ключевое слово literally отменяло оптимизацию следующего за ним выражения при включенном режиме глобальной оптимизации. В среде Mathcad 8 также можно включить режим оптимизации всех выражений, а затем через флажок Enable Optimization отключить оптимизацию у некоторых формул.
[40] Намек на то, что самые лучшие математики — это советские евреи.
[41] Становится меньше не только математиков, готовящихся к занятиям, но и просто хороших математиков. Печальная шутка: «Что такое американский университет? Это место, где бывший советский (вспомним красную шестиугольную звездочку на рис. 7.14) на ломаном английском преподает математику китайцам».
[42] Есть горе от ума, а есть горе от компьютеров и, вообще, от горе всяческих плодов цивилизации.
[43] Пример спортивного тренажера казался автору вполне удачным до тех пор, пока он не узнал, что современные тренажеры (тот же Ketler, мелькающий в рекламе по TV) на самом деле оборудованы силовыми приводами, помогающими человеку или тормозящими рычаги в нужный момент. Этим настоящие тренажеры отличаются от простого троса, перекинутого через блок, с грузом на конце.
[44] Этот документ работает в среде Mathcad 7 и не работает в среде Mathcad 8. Ошибки программирования исправлены по принципу «Есть оператор — есть проблема, нет оператора — нет проблемы».
[45] Разработка фирмы Waterloo Maple, Inc., 450 Phillip Street, Waterloo, ON, Canada, N2L 5J2, тел.: 519-747-23, факс: 519-747-5284, http://www.maplesoft.com. Символ V в названии пакета – это латинская буква V (Victory – победа). Далее в тексте мы ее будем опускать – в новейшей версии этого пакета она также опущена – Maple 6. В конце приложения 1 указано, что в Mathcad встроен MKM (MathSoft Kernel Maple), разработанный фирмой Waterloo Maple, Inc.
[46] С другой стороны, «настоящие» научные дисциплины не боятся прилагательного «занимательный»: занимательная математика, занимательная физика и т.д. Но! «Занимательный научный коммунизм» — как вам это понравится?.. Ладно, не будем пинать издыхающего льва — «Занимательная астрология».
[47] Развитие пакета Mathcad для компьютеров Apple Macintosh остановилось на пятой версии, а для DOS — на версии 2.51.
[48] Это был своеобразный протест против господства числа в Computer Science.
[49] Автор давным-давно написал статью о принципах расцвечивания программ и послал ее в журнал «Микропроцессорные средства и системы» (в то время единственный, где публиковались статьи по персональным компьютерам). Статья попала на рецензию… к дальтонику.
[50] Этот принцип применительно к работе на компьютере можно переиначить так: не спеши изучать языки программирования — очень вероятно, что этого не понадобится: программные среды Mathcad и Maple позволяют решать довольно сложные задачи без традиционного кодирования алгоритмов.
[51] В среде языка BASIC ключевое слово print можно заменить знаком вопроса, а в среде Maple совсем опустить — сравните рис. 7.21 и 7.22.
[52] Еще раз напомним, что вычислительная математика Mathcad допускает буквы кириллицы в именах переменных и функций. В символьной математике и Mathcad и Maple этого делать нельзя. Поэтому на рис. 7.24 мы работаем не с переменной Пр, а с переменной Pr.
[53] Приводим цены во французских франках (5 франков » 1 доллар США) из рекламы, помещенной в журнале La Recherche (№ 10’96): Maple V Release 4 — 6450 (3490 — для учебных заведений), Mathcad 6.0 PLUS — 3490, Mathcad 6.0 — 1490. Но самый дорогой математический пакет — это, конечно, Mathematica 3.0 — 8950 (6965). В Москве у фирмы SoftLine (тел. 232-00-23) учебные заведения могут купить Maple за 600 долл., а Mathcad (русскую версию) — за 420 долл. — см. рекламу в конце книги.
[54] Многие молодые читатели их не застали, поэтому автор излагает здесь азы кибернетики.
[55] Главная причина смерти АВМ в том, что на цифровой машине можно смоделировать аналоговую, а на аналоговой цифровую — нет.
[56] Или гибридностью, если вспомнить название раздела книги.
[57] Это возможно только в седьмой версии Mathcad. В более ранних версиях команды символьных преобразований из меню Symbolic с вложенными пользовательскими функциями не работали.
[58] Умный человек никогда не будет скучать с самим собой.
